Correzione compito in classe

classe III, Maggio 2007

È data l'iperbole di equazione
  1. Determinane vertici, asintoti, fuochi ed eccentricità e disegnala.
  2. Determina due punti dell'iperbole di uguale ascissa e tali che le due tangenti all'iperbole in quei punti formino un triangolo equilatero con la retta congiungente i due punti.
  3. Scrivi le equazioni delle circonferenze tangenti a entrambi i rami dell'iperbole 
Sappiamo che:
	


Inoltre gli asintoti hanno equazioni
	



I due punti sull'iperbole
	


tali da formare il triangolo equilatero ABC simmetrico rispetto 
all'asse focale, con AC e BC tangenti all'iperbole, hanno dunque
tangenti di equazioni, con il metodo di sdoppiamento, 
	


le cui pendenze dovranno essere
	


ovvero
	3t2 = 2t2 - 8
che non ha soluzioni. 
Le circonferenze tangenti a entrambi i rami dell'iperbole
hanno evidentemente centro sull'asse y data la simmetria
rispetto a questa retta. Una di queste circonferenze è 
certamente quella con centro in O(0,0), di equazione
	x2+y2=4
Le altre passeranno per punti di uguale ordinata dell'iperbole 
le cui tangenti in quei punti sono anche tangenti all'iperbole.
Se consideriamo i punti del primo quadrante, tali tangenti hanno 
equazioni, con il metodo di sdoppiamento: 
	


e quindi il raggio ha equazione
	

	
Così il centro
	C(0, 3t)
e raggio
	


con equazioni
pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione